martes, 4 de febrero de 2014

EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN NUEVOS CONTEXTOS



COMPETENCIA MATEMÁTICA, UN APRENDIZAJE FUNDAMENTAL
Prof. Carlos A. Yampufé Requejo
DNI 16692033
En la Unión europea la Competencia Matemática es una de las competencias clave para el aprendizaje permanente. “Las Competencias Clave representan un paquete multifuncional y transferible de conocimientos, destrezas y actitudes que todos los individuos necesitan para su realización y desarrollo personal, inclusión y empleo. Éstas deberían haber sido desarrolladas para el final de la enseñanza o formación obligatoria, y deberían actuar como la base para un posterior aprendizaje como parte de un aprendizaje a lo largo de la vida”[1]. La definición enfatiza que las competencias clave deberían ser transferibles, y por tanto aplicables en muchas situaciones y contextos, y multifuncionales, en tanto que pueden ser utilizadas para lograr diversos objetivos, para resolver diferentes tipos de problemas y para llevar a cabo diferentes tipos de tareas. Las competencias clave son un prerrequisito para un rendimiento personal adecuado en la vida, en el trabajo y posterior aprendizaje.

Bajo la propuesta de las Rutas del Aprendizaje, los Aprendizajes Fundamentales “Son competencias generales, que todos los estudiantes peruanos sin excepción necesitan lograr y tienen derecho a aprender, desde el inicio hasta el fin de su educación básica. Por lo tanto, el Estado garantiza las condiciones para que todas ellas puedan enseñarse y aprenderse de manera efectiva en todo el territorio nacional.”

DEFINICIÓN DE COMPETENCIA MATEMÁTICA EN PISA[2]
El conocimiento matemático es esencial para la preparación de los jóvenes para la vida en la sociedad moderna ya que una creciente proporción de problemas y situaciones que se presentan en el trabajo y contextos profesionales, requieren razonamiento de cierto nivel, utilización de estrategias y herramientas matemáticas. Por tanto es importante tener una comprensión de qué tan preparados están los jóvenes que egresan de la educación básica para aplicar Matemática, para entender cuestiones que la involucran y resolver problemas significativos.

Como base para el reconocimiento de la Competencia Matemática, es razonable preguntar:
·         ¿qué es importante para las personas conocer y saber hacer en situaciones que involucran Matemática?
·         ¿qué significa ser competente en Matemática para un joven, que podría estar egresando de la enseñanza básica o preparándose para seguir una formación específica para una carrera u oficio o ingresar en la Universidad?

Es importante que el concepto de competencia matemática, que es utilizado en este documento para señalar la capacidad de los individuos para formular, aplicar e interpretar Matemática en contextos variados, no sea percibido como sinónimo de conocimientos y destrezas mínimas o de bajo nivel. Por el contrario, está pensado en base a las capacidades de los individuos para razonar matemáticamente y aplicar conceptos matemáticos, procedimientos, datos y herramientas para describir, explicar y predecir fenómenos. Una premisa de PISA es que, con el fin de mejorar las posibilidades de éxito en la vida adulta, es necesario que la educación Matemática que reciban los estudiantes les brinde las oportunidades de experimentar cómo la Matemática es usada en una variedad de contextos, no solamente áulicos. Esta posición no niega la importancia para los estudiantes del desarrollo de una sólida comprensión de conceptos de la Matemática pura, ni de lo beneficioso que es para ellos involucrarse en exploraciones en el mundo abstracto de la Matemática o de desarrollar alto nivel de destreza algorítmica. Sin embargo, la construcción de la competencia matemática, como la define PISA, llama al equilibrio desarrollando también en los estudiantes la capacidad de usar Matemática en contextos auténticos para lo que es importante que tengan ricas experiencias en clase que acompañe ese desarrollo. Se agrega a lo anterior que para casi todos los alumnos, la motivación para aprender Matemática es mayor cuando ven la importancia y la utilidad de lo que están aprendiendo. La Competencia matemática no es un atributo que un individuo tiene o no tiene sino que es un atributo que está en proceso continuo de desarrollo; algunos individuos se muestran matemáticamente más competentes que otros y todos poseen el potencial de desarrollar esta habilidad.

“La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticas en distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel que las matemáticas desempeñan en el mundo y a emitir los juicios y las decisiones bien fundadas que los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos necesitan.

El foco de la definición de competencia matemática está en la participación activa en la Matemática y hace énfasis en el razonamiento matemático y el uso de conceptos, procedimientos, datos, y herramientas para describir, explicar y predecir fenómenos. En particular, los verbos “formular”, “emplear”, e “interpretar” apuntan a los tres procesos que los estudiantes activarán como diligentes solucionadores de problemas.

Modelización en Matemática
La definición de competencia matemática integra la noción de modelización matemática, que ha sido históricamente uno de los pilares del marco conceptual de la evaluación en Matemática en PISA. El esquema presenta cómo los individuos utilizan la Matemática y sus herramientas para resolver problemas contextualizados, así como también el avance de su trabajo a través de una serie de etapas. El proceso de modelización matemática empieza con el planteo de un “problema en contexto”. Quien se enfrenta a resolver un problema identifica la matemática relevante en la situación planteada y formula la situación matemáticamente de acuerdo a los conceptos y relaciones identificados. Transforma el “problema en contexto” en un “problema formulado matemáticamente” susceptible de tratamiento matemático. La siguiente etapa del proceso describe el trabajo realizado por la persona que se plantea el desafío de resolver el problema: emplea conceptos matemáticos, procedimientos, datos y herramientas para encontrar el “resultado matemático”. Esta etapa generalmente implica razonamiento, manipulación, transformación y cálculo. Luego, los “resultados matemáticos” deben ser interpretados en términos del problema original: “resultados en contexto”. Esto supone la interpretación, aplicación y evaluación de los resultados matemáticos y su pertinencia en el contexto auténtico en que se basa el problema. Estos procesos de formulación, uso e interpretación matemática son componentes clave en el ciclo de la modelización matemática y también son componentes clave en la definición de competencia matemática.
Competencia Matemática en acción

La descripción del ciclo de modelización matemática anterior presenta un panorama idealizado y simplificado de la competencia matemática. Es un esquema de como se observa en la práctica, aunque con frecuencia no es necesario incursionar en todas las etapas del ciclo de modelización al resolver un problema. A menudo se da el caso de que partes significativas del ciclo de modelización matemática han sido realizadas por otros, y el usuario final lleva a cabo algunas etapas del ciclo, pero no todas ellas. Por ejemplo, en algunos casos, representaciones matemáticas como gráficos o ecuaciones, son dadas para que puedan ser manipuladas directamente con el fin de responder algunas preguntas o sacar algunas conclusiones. Por esta razón. En realidad, quien se plantea resolver el problema también puede a veces oscilar entre los procesos y las etapas, volviendo a revisar decisiones y supuestos anteriores. Cada una de las etapas puede presentar desafíos considerables y pueden requerir varias iteraciones del ciclo completo.

La referencia a “una variedad de contextos” en la definición de la competencia matemática es intencional entendido como una forma de vincular los contextos específicos, (personales, ocupacionales, sociales y científicos) que serán descriptos y ejemplificados más adelante en este documento y se utilizan para reflejar una amplia gama de situaciones en las que los individuos pueden encontrar oportunidades de matematizar.

La definición de competencia matemática explícitamente incluye el empleo de herramientas matemáticas. Estas herramientas abarcan una variedad de equipos físicos y digitales, como software y calculadoras. Las herramientas informáticas son de uso común en los lugares de trabajo del siglo XXI y serán cada vez más frecuentes a medida que avance el siglo. La naturaleza de los problemas relacionados con el trabajo y el razonamiento lógico se han expandido con estas nuevas oportunidades de creación de nuevos escenarios para la puesta en marcha de la competencia matemática.

DIMENSIONES DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Estas dimensiones evalúan hasta qué punto los estudiantes se manejan hábilmente en Matemática cuando se enfrentan con situaciones y problemas que habitualmente son presentados en contextos auténticos.

A los efectos de la evaluación, la definición de competencia matemática en PISA 2012 puede ser analizada en términos de tres aspectos interrelacionados:
·         El contenido matemático que las actividades de prueba abordan.
·         Los procesos matemáticos que describen lo que es necesario hacer para conectar el contexto del problema con la Matemática que está implícita en él y así resolverlo, y las capacidades que subyacen a esos procesos.
·         Los contextos en los cuales los ítemes de evaluación se sitúan.

Las actividades propuestas en el desarrollo de la competencia matemática deben reflejar una gama de contenidos, procesos y contextos que efectivamente ponen en práctica las dimensiones dela definición de la competencia matemática. Son varias las preguntas que sustentan esta definición de competencia matemática:
·         ¿Qué conocimiento del contenido matemático se puede esperar de las personas en general y de los estudiantes en particular?
·         ¿Qué procesos ponen en marcha los individuos comprometidos cuando resuelven problemas de contenido matemático, y qué capacidades esperamos que los individuos sean capaces de demostrar cuando aumenta el nivel de competencia matemática?
·         ¿En qué contextos la competencia matemática puede ser observada y evaluada?

Contenido Matemático
Para los ciudadanos del mundo actual es importante la comprensión del contenido matemático y la habilidad de aplicarlo a la resolución de problemas significativos y contextualizados. Para resolver problemas e interpretar situaciones en diversos contextos de la vida es necesario recurrir a ciertos conocimientos matemáticos.

Las estructuras matemáticas se han desarrollado históricamente para entender e interpretar fenómenos naturales y sociales. En la enseñanza formal el currículum de Matemática suele organizarse en torno a ramas de contenido (ej. Número, Álgebra, Geometría) y listas detalladas de temas que ayudan a definir un currículum estructurado. Sin embargo, fuera de la clase de Matemática, una situación que surge no suele estar acompañado por un conjunto de reglas y fórmulas que muestren como debe enfrentarse. Por lo general requiere pensamiento más o menos creativo en la formulación matemática de la situación y con frecuencia el uso de ramas de conocimiento que involucran múltiples contenidos. En ocasiones la situación puede ser abordada de diferentes maneras recurriendo a diferentes conceptos matemáticos, procedimientos, datos o herramientas.

Dado que el objetivo es el desarrollo de la competencia matemática en los estudiantes, se propone una estructura para organizar los contenidos basada en fenómenos matemáticos que subyacen en grandes clases de problemas y que han motivado el desarrollo de determinados conceptos y procedimientos matemáticos. Por ejemplo, fenómenos matemáticos como los de cambio y relaciones e incertidumbre subyacen en muchas situaciones que ocurren comúnmente, por lo que se han desarrollado estrategias y herramientas matemáticas para analizarlos. Esta organización de contenido no es nueva, como se ejemplifica en dos conocidas publicaciones: Sobre los Hombros de Gigantes (Steen, 1990) y Matemática: La Ciencia de los patrones (Devlin, 1994).

Por lo tanto, se ha seleccionado un conjunto de categorías de contenido que reflejan la variedad de fenómenos matemáticos subyacentes, en consonancia con las categorías utilizadas para estudios previos de PISA.

La siguiente lista de categorías de contenido es utilizada para cumplir con los requerimientos del desarrollo histórico, la cobertura del dominio de Matemática y los fenómenos subyacentes que generan el desarrollo de los ejes principales del currículum escolar. Estas cuatro categorías caracterizan el rango de contenido matemático que es el centro de la disciplina e ilustran las amplias áreas de contenido que guían el desarrollo de las actividades que desarrollan la competencia matemática.
·         Cantidad
·         Espacio y forma
·         Cambio y relaciones
·         Incertidumbre y datos

Mientras que la clasificación por categorías de contenido es indispensable tanto para el desarrollo y la selección de los contenidos, es importante notar que algunos tópicos específicos de contenido pueden materializarse en más de una de las categorías. Por ejemplo, un ítem aplicado en una de las primeras ediciones de PISA llamado “Las Pizzas” propone determinar cuál de dos pizzas redondas, con diferentes diámetros y diferentes precios pero el mismo grosor, tiene el precio más conveniente. Este ítem aborda distintas áreas de contenido Matemático tales como geometría, pues refiere a dos círculos; su solución implica cálculos aritméticos en términos de precios, razonamiento proporcional y relación entre variables asociadas a la superficie y el costo de cada pizza. Claramente, por referirse a figuras geométricas, éste ítem podría haber sido clasificado como un ítem de Espacio y forma. Sin embargo este ítem fue clasificado en la categoría Cambios y relaciones ya que la clave del problema radica en que los estudiantes sean capaces de relacionar las áreas de las dos pizzas que tienen distinto diámetro y su relación con el precio, lo que implica razonamiento proporcional.

A continuación se presentan, en primer lugar, las descripciones de cada categoría de contenido y su importancia para resolver problemas significativos, seguido de definiciones más específicas del tipo de temas que se consideraron apropiados para incluir en una evaluación de competencia matemática a estudiantes. Estos temas específicos reflejan los acuerdos encontrados a partir de las expectativas de los países participantes en la evaluación, así como de ciertas jurisdicciones educativas.

Cantidad
La noción de cantidad incorpora la cuantificación de los atributos de los objetos, las relaciones, las situaciones y las entidades del mundo, interpretando distintas representaciones de esas cuantificaciones y juzgando interpretaciones y argumentos basados en la cantidad. Participar en la cuantificación del mundo supone comprender las mediciones, los cálculos, las magnitudes, las unidades, los indicadores, el tamaño relativo y las tendencias y patrones numéricos. Algunos aspectos del razonamiento cuantitativo, como el sentido de número, las múltiples representaciones de estos, la elegancia en el cálculo, el cálculo mental, la estimación y evaluación de la justificación de los resultados, constituyen la esencia de la competencia matemática relativa a la cantidad.

La cuantificación es un método clave para describir y medir un vasto conjunto de atributos del mundo. Permite modelizar situaciones, examinar y cuantificar cambios y relaciones, describir y manipular figuras y evaluar probabilidades. Por lo tanto la competencia matemática en el área de Cantidad aplica los conocimientos de número y operaciones numéricas en una amplia variedad de contextos.

Espacio y forma
Espacio y forma incluye una amplia gama de fenómenos que se encuentran en nuestro mundo visual y físico: patrones, propiedades de los objetos, posiciones y direcciones, representaciones de los objetos, decodificación y codificación de información visual, navegación e interacción dinámica con formas reales, así como con representaciones. Se presupone que la comprensión de un conjunto de conceptos y destrezas básicas es importante para la competencia matemática relativa al espacio y la forma. La competencia matemática en esta área incluye una serie de actividades tales como la comprensión de la perspectiva (por ejemplo en los cuadros), la elaboración y lectura de mapas, la transformación de las formas con y sin tecnología, la interpretación de vistas de escenas tridimensionales desde distintas perspectivas y la construcción de representaciones de formas. La Geometría actúa como base esencial para Espacio y forma, pero la categoría se extiende más allá de la geometría tradicional en cuanto al contenido, significado y método, a partir de elementos de otras áreas de la Matemática como la visualización espacial, la medición y el álgebra.

Cambio y relaciones
El mundo a nuestro alrededor muestra múltiples relaciones temporales y permanentes entre objetos y circunstancias, donde ocurren cambios entre sistemas de objetos interrelacionados o en circunstancias en que los elementos influyen unos con otros. En muchos casos estos cambios ocurren con el tiempo, y en otros casos un cambio en un objeto o cantidad está relacionado con cambios en otro. Siendo más literal, cambio y relaciones, implica tipos fundamentales de cambios y el reconocimiento de cuándo ocurren para utilizar modelos matemáticos adecuados para describirlos y predecirlos. Matemáticamente esto significa modelizar el cambio y las relaciones con funciones apropiadas, así como la creación, interpretación y traducción de representaciones simbólicas y gráficas de las relaciones.

Cambio y relaciones son evidentes en diversos entornos como crecimiento de organismos, música, ciclo de las estaciones, patrones del clima y condiciones económicas, entre otras. Aspectos de los contenidos matemáticos tradicionales sobre funciones y álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones, tablas y representaciones gráficas, son esenciales en la descripción, modelización e interpretación de los fenómenos de cambio. La actividad Caminar contiene dos preguntas que ejemplifican las categorías de Cambio y Relaciones ya que el foco se centra en relaciones algebraicas entre dos variables. Los estudiantes tienen que usar una fórmula que relaciona el largo de un paso con el número de pasos por minuto —fórmula expresada algebraicamente— para determinar el largo de un paso en una pregunta y la velocidad de la caminata en la otra. Representaciones de los datos y relaciones descritas usando estadística también suelen ser aplicadas para describir e interpretar cambios y relaciones, y una base sólida en los fundamentos de número y unidades es también esencial para definir e interpretar Cambios y relaciones. Algunas relaciones interesantes surgen entre las magnitudes de figuras geométricas, tales como la forma en que variaciones en el perímetro de una familia de figuras puede relacionarse con variaciones en su área, o las relaciones entre las longitudes de los lados de un triángulo.

Incertidumbre y datos
La incertidumbre y datos es un fenómeno central del análisis matemático de muchas situaciones de los problemas, y la teoría de la incertidumbre y datos y la estadística, así como las técnicas de representación y descripción de datos, se han establecido para darle respuesta. Esta categoría incluye el reconocimiento del lugar de la variación en los procesos, la posesión de un sentido de cuantificación de esa variación, la admisión de incertidumbre y error en las mediciones, y los conocimientos sobre el azar. Asimismo, comprende la elaboración, interpretación y valoración de las conclusiones extraídas en situaciones donde la incertidumbre y datos son fundamentales. La presentación e interpretación de datos son conceptos clave en esta categoría.


Procesos Matemáticos
La definición de competencia matemática hace referencia a la capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticas. Estos tres términos ofrecen una estructura útil y significativa para organizar los procesos matemáticos que describen lo que hacen los individuos para relacionar el contexto de un problema con las matemáticas y, de ese modo, resolverlo.

Formulación matemática de las situaciones
En la definición de competencia matemática, el término “formular” hace referencia a la capacidad del individuo para reconocer e identificar oportunidades para utilizar las matemáticas y, posteriormente, proporcionar la estructura matemática a un problema presentado de forma contextualizada. En concreto, este proceso incluye las siguientes actividades:
·      Identificación de los aspectos matemáticos de un problema situado en un contexto del mundo real e identificación de las variables significativas;
·      Reconocimiento de la estructura matemática (incluidas las regularidades, las relaciones y los patrones) en los problemas o situaciones;
·      Simplificación de una situación o problema para que sea susceptible de análisis matemático;
·      Identificación de las limitaciones y supuestos que están detrás de cualquier construcción de modelos y de las simplificaciones que se deducen del contexto;
·      Representación matemática de una situación, utilizando las variables, símbolos, diagramas y modelos estándar adecuados;
·      Representación de un problema de forma diferente, incluida su organización según conceptos matemáticos y formulando los supuestos adecuados;
·      Comprensión y explicación de las relaciones entre el lenguaje específico del contexto de un problema y el lenguaje simbólico y formal necesario para representarlo matemáticamente;
·      Traducción de un problema a lenguaje matemático o a una representación;
·         Reconocimiento de aspectos de un problema que se corresponde con problemas conocidos o conceptos, datos o procedimientos matemáticos; y
·         Utilización de la tecnología (como una hoja de cálculo o funciones en una calculadora gráfica) para representar una relación matemática inherente a un problema contextualizado.

Empleo de conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos
En la definición de competencia matemática, el término “emplear” hace referencia a la capacidad del individuo para aplicar conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos en la resolución de problemas formulados matemáticamente con el fin de llegar a conclusiones matemáticas. En concreto, este proceso incluye actividades tales como:
·      El diseño e implementación de estrategias para encontrar soluciones matemáticas;
·      La utilización de herramientas matemáticas, incluida la tecnología, que ayuden a encontrar soluciones exactas o aproximadas;
·      La aplicación de datos, reglas, algoritmos y estructuras matemáticas en la búsqueda de soluciones;
·      La manipulación de números, datos e información gráfica y estadística, expresiones algebraicas y ecuaciones, y representaciones geométricas;
·      La realización de diagramas, gráficos y construcciones matemáticas y la extracción de información matemática de los mismos;
·      La utilización de distintas representaciones para buscar soluciones posibles;
·      La realización de generalizaciones basadas en los resultados de aplicar procedimientos matemáticos para encontrar soluciones; y
·      La reflexión sobre argumentos matemáticos y la explicación y justificación de los resultados matemáticos.

Interpretación, aplicación y valoración de los resultados matemáticos
El término “interpretar”, utilizado en la definición de competencia matemática, se centra en la capacidad del individuo para reflexionar sobre soluciones, resultados o conclusiones matemáticas e interpretarlas en el contexto de los problemas de la vida real. En concreto, este proceso de interpretación, aplicación y valoración de los resultados matemáticos incluye actividades tales como:
·      La reinterpretación de un resultado matemático en el contexto del mundo real;
·      La valoración de la razonabilidad de una solución matemática en el contexto de un problema del mundo real;
·      La comprensión del modo en que el mundo real afecta a los resultados y cálculos de un procedimiento o modelo matemático para realizar juicios contextuales sobre la forma en que los resultados deben ajustarse o aplicarse;
·      La explicación de por qué un resultado o una conclusión matemática tiene o no tiene sentido dado el contexto de un problema;
·      La comprensión del alcance y de los límites de los conceptos y las soluciones matemáticas; y
·      El análisis e identificación de los límites del modelo utilizado para resolver un problema.


Capacidades Matemáticas Fundamentales Subyacentes en los Procesos Matemáticos
Una década de experiencia en el desarrollo de las actividades de prueba de PISA y en el análisis de las formas en que los estudiantes responden a los ítemes han revelado que hay una serie de capacidades matemáticas fundamentales que subyacen en cada uno de estos procesos reportados y que también sustentan en la práctica la competencia matemática. La obra de Mogens Niss y sus colegas daneses (Niss, 1999, 2003) identifican siete capacidades como fundamentales para el uso instrumental de la Matemática que fueron publicadas en el marco del área para el ciclo 2003.

Existe un amplio consenso sobre la necesidad de identificar un conjunto de capacidades matemáticas generales para complementar el papel que cumple el conocimiento de contenido matemático específico en el aprendizaje de Matemática. Las capacidades esenciales de la competencia matemática que se utilizan en este marco se ilustran en la figura.

Comunicar: el concepto de Competencia matemática implica comunicación. El sujeto percibe la existencia de un desafío y es estimulado a reconocer y entender una situación problema. Leer, decodificar e interpretar algunas afirmaciones, preguntas, tareas u objetos permiten al individuo formar un modelo mental de la situación, lo que es un paso importante en la comprensión, clarificación y formulación de un problema. Durante el proceso de resolución, la información puede necesitar aún mayor interpretación y los resultados intermedios pueden tener que ser resumidos y presentados. Una vez que se ha encontrado una solución a la propuesta, puede ser necesario presentarla y quizás habrá requerimientos de brindar una explicación o justificación.

Varios factores determinan el nivel y la dimensión de la demanda de comunicación de una tarea, y la habilidad de la persona para satisfacer esas demandas indica en qué medida ha desarrollado la capacidad de comunicación. Para los aspectos receptivos de la comunicación, estos factores incluyen la extensión y complejidad del texto u otro objeto a ser leído e interpretado, la familiaridad de las ideas o información a la que se refiere el texto u objeto, el grado en que la información requiere ser desligada de otra, la organización de la información y los procesos de pensamiento requeridos para interpretarla y utilizarla, así como la medida en que los diferentes elementos que necesitan ser interpretados (textos, gráficos, tablas, cuadros) se relacionan con los demás elementos presentes en la propuesta.

Para los aspectos expresivos de la comunicación, el menor nivel de complejidad se observa en tareas que exigen simplemente dar una respuesta numérica. Cuando se añade la exigencia de una respuesta, más extensa por ejemplo cuando se requiere dar una explicación o justificación oral o escrita, la exigencia en comunicación aumenta.

Matematizar: La competencia matemática puede implicar transformar un problema definido en el mundo cotidiano en una forma estrictamente matemática (que puede incluir estructurar, conceptualizar, hacer suposiciones, formular un modelo) o interpretar una solución matemática o un modelo matemático en relación con el problema original en su contexto. El término matematización es utilizado para describir las actividades matemáticas fundamentales implicadas en esos procesos.

En algunas tareas, no se requiere matematización, ya sea porque el problema ya se encuentra expresado en términos matemáticos, o no se necesita la relación entre el modelo y la situación planteada para resolver ni para responder al problema.

La exigencia de matematización se presenta en su forma más simple cuando el individuo necesita interpretar e inferir directamente de un modelo dado; o traducir directamente de una situación intramatemática (por ejemplo, para identificar y seleccionar variables importantes, recoger medidas pertinentes, hacer diagramas). La exigencia de matematización aumenta cuando se requiere utilizar o modificar un determinado modelo para abarcar nuevas condiciones o interpretar relaciones deducidas, elegir un modelo familiar dentro de limitaciones y claras restricciones articuladas, o crear un modelo donde las variables requeridas, relaciones y limitaciones sean explícitas y claras. Un nivel aún más alto de demanda de matematización se relaciona con la necesidad de crear o interpretar un modelo en una situación donde muchos supuestos, variables, relaciones y limitaciones deben ser identificados y definidos, comprobar que el modelo satisface los requerimientos de la tarea, o evaluar o comparar modelos.

Representar: La competencia matemática involucra muy frecuentemente representaciones matemáticas. Esto puede suponer seleccionar, elaborar, interpretar, traducir y usar una variedad de representaciones para captar una situación, interactuar con un problema, o para presentar el trabajo realizado. Las representaciones referidas incluyen ecuaciones, fórmulas, gráficos, tablas, diagramas, imágenes, textos descriptivos y materiales concretos.

Esta habilidad matemática se asocia, en su nivel más bajo, con la necesidad de manejar directamente una representación familiar determinada, por ejemplo pasando directamente de texto a números o leyendo un valor llanamente, de un gráfico o tabla. Tareas de representación con mayores exigencias cognitivas se asocian a la selección e interpretación de una representación estándar o familiar, en relación a una situación y en un nivel más alto de exigencia aún, cuando requiere el uso simultáneo de dos o más representaciones diferentes en relación a una situación, incluyendo la modificación de una representación; o cuando la demanda es elaborar una representación sencilla de una situación. Un nivel más alto de la demanda cognitiva se caracteriza por la necesidad de entender y usar una representación no estándar que requiere una importante decodificación e interpretación, elaborar una representación que capte los aspectos claves de una situación compleja o comparar y evaluar diferentes representaciones.

Razonar y argumentar: Esta es una habilidad necesaria en todas las etapas y actividades asociadas con la competencia matemática. Esta destreza implica procesos de pensamiento arraigados que exploran y vinculan elementos del problema para hacer inferencias a partir de ellos, conectar variables y datos, comprobar la fiabilidad de una justificación dada o proveer una justificación a afirmaciones planteadas.

En tareas de demanda relativamente baja para activar esta habilidad, el razonamiento requerido implica simplemente seguir las instrucciones dadas. En un nivel de demanda ligeramente más alto, las tareas requieren alguna reflexión para conectar las diferentes partes de la información, con el fin de hacer inferencias (por ejemplo, vincular componentes separados presentes en el problema, o usar razonamiento directo dentro de un aspecto del problema). A un nivel más alto, las tareas requieren el análisis de la información para seguir o crear un argumento de varios pasos o conectar varias variables, o razonar desde fuentes de información vinculadas. A un nivel aún mayor de demanda, hay una necesidad de síntesis y evaluación de la información, usar o crear cadenas de razonamiento para justificar inferencias o hacer generalizaciones sobre la base y la combinación de múltiples elementos de información.

Elaborar estrategias: La competencia matemática frecuentemente requiere elaborar estrategias para resolver problemas matemáticamente. Esto implica un conjunto de procesos críticos de control que guían a un individuo a efectivamente reconocer, formular y resolver problemas. Esta habilidad se caracteriza por la selección o elaboración de un plan para usar Matemática, para resolver problemas originados de una tarea en un contexto, así como guiar su ejecución. Esta habilidad matemática puede ser demandada en cualquiera de las etapas del proceso de resolución de un problema.

En tareas con una demanda relativamente baja de esta habilidad, a menudo es suficiente tomar acciones directas en las que la estrategia necesaria es indicada, conocida u obvia. En un nivel ligeramente más alto de demanda, puede haber necesidad de decidir cuál es la estrategia adecuada que utilice la información dada para alcanzar una conclusión. La demanda cognitiva se incrementa con la necesidad de diseñar y construir una estrategia para transformar la información proporcionada y alcanzar una conclusión. Incluso las tareas más exigentes requieren la construcción de una estrategia, elaborada para encontrar una solución exhaustiva o una conclusión generalizada, o para evaluar o comparar diferentes estrategias posibles.

Usar lenguaje simbólico, formal y técnico y operaciones: Ser competente en Matemática requiere Usar lenguaje simbólico, formal y técnico y operaciones. Esto implica comprender, manipular y hacer uso de expresiones simbólicas regidas por convenciones y reglas matemáticas. También incluye la comprensión y utilización de construcciones formales basadas en definiciones, reglas y sistemas formales y también el uso de algoritmos con estas entidades. Los símbolos, reglas y sistemas utilizados pueden variar de acuerdo a qué conocimiento del contenido matemático particular se necesita para formular, resolver o interpretar una tarea específica.

La demanda para la activación de estos procesos varía enormemente a través de las tareas. En tareas simples, no necesitan ser activadas reglas o expresiones simbólicas más allá de los cálculos aritméticos fundamentales, operaciones con números pequeños o fácilmente manipulables. Los trabajos con mayor demanda pueden incluir el uso directo de una relación funcional simple, ya sea implícita o explícita (por ejemplo, relaciones lineales familiares, fórmulas conocidas), el uso de símbolos matemáticos formales (por sustitución directa de variables o cálculos aritméticos con fracciones y decimales), o la activación y uso directo de definiciones matemáticas, convenciones o conceptos simbólicos. El incremento de la demanda cognitiva se caracteriza por la necesidad del uso explícito y manipulación de símbolos (por ejemplo, manipulación algebraica de una fórmula), o la activación y uso de reglas matemáticas, definiciones, convenciones, procedimientos o fórmulas utilizando una combinación de múltiples relaciones o conceptos simbólicos. Un nivel mayor de demanda se caracteriza por la necesidad de la aplicación de múltiples pasos de procedimientos matemáticos formales, trabajar en forma flexible con relaciones algebraicas o usar técnicas y conocimientos matemáticos para producir resultados.

Usar herramientas matemáticas: Esta habilidad que sustenta la competencia matemática en la práctica es Usar herramientas matemáticas. Regularmente la evaluación de la competencia  matemática ha estado basada en pruebas en papel, por lo tanto sólo ha sido posible incluir en forma muy superficial el uso de herramientas. El componente opcional (en el que solo algunos países participan) de la evaluación de la competencia matemática basada en computadora para proporcionar a los estudiantes más oportunidades de usar herramientas matemáticas e incluir observaciones acerca de la forma en que las herramientas se utilizan como parte de la evaluación. Las herramientas matemáticas pueden ser físicas, como instrumentos de medición, así como calculadoras, e informáticas que se están volviendo cada vez más accesibles. Esta habilidad implica conocer y ser capaz de hacer uso de varios apoyos y herramientas que puedan ayudar a la actividad matemática en proceso y, lo que es muy importante, conocer sus limitaciones. Las herramientas matemáticas pueden, también, desempeñar un papel importante en la comunicación de resultados.

Tareas y actividades que implican un nivel relativamente bajo de demanda para esta habilidad pueden requerir el uso directo de herramientas familiares, como un instrumento de medición, en situaciones en las que el uso de esas herramientas es familiar. Mayores niveles de demanda surgen cuando el uso de herramientas implica una secuencia de pasos o vinculación de diferentes informaciones usando la herramienta, cuando la familiaridad con ellas es menor o cuando la situación en la que se aplica no es habitual. La demanda aumenta aún más cuando la herramienta debe utilizarse para procesar y relacionar múltiples datos, cuando su aplicación se da en una situación muy diferente de las aplicaciones familiares, cuando la herramienta en sí es compleja y cuando se requiere una reflexión para entender y evaluar las ventajas y las limitaciones de ellas.

Contextos
Un aspecto importante de la concepción de competencia matemática es que se tiene en cuenta que esta área tiene aplicaciones para resolver un conjunto de problemas que se presentan en variados contextos. El contexto es el aspecto del mundo del individuo en el cual los problemas se ubican. La elección de estrategias y representaciones matemáticas apropiadas depende a menudo del contexto en el cual surge el problema. Para el estudio son utilizados una amplia gama de contextos auténticos lo que ofrece la posibilidad de que los estudiantes se enfrenten a las más variadas situaciones y se conecten con una amplia gama de intereses individuales propios del siglo XXI.

A los efectos del marco de evaluación de la competencia matemática de PISA 2012, han sido definidas cuatro categorías de contexto:
·      Personal: Problemas planteados sobre actividades relacionadas con uno mismo, la propia familia, o el propio grupo de pares y la percepción del individuo de la importancia directa de las situaciones problemáticas en ellos. Los tipos de contextos que pueden ser considerados personales incluyen aquellos relativos a la preparación de alimentos, compras, juegos, salud individual, transporte personal, deportes, viajes y finanzas personales.
·      Ocupacional: Los problemas ubicados en un contexto ocupacional se centran en el mundo del trabajo, pueden incluir situaciones como medición, cálculo de costos y pedido de materiales para la construcción, nómina de sueldos y su contabilidad, control de calidad, inventarios, diseño y toma de decisiones relacionadas con el trabajo. Los contextos ocupacionales pueden relacionarse con cualquier nivel de mano de obra, desde el trabajo no calificado hasta los más altos niveles de trabajo profesional, sin olvidar que los contextos en este estudio no deben ser totalmente ajenos a los jóvenes.
·         Social: Los problemas planteados en un contexto social se centran en la propia comunidad. Pueden incluir temas tales como sistemas de votación, transporte público, gobierno, políticas públicas, demografía, publicidad, estadísticas nacionales y económicas. Si bien los individuos están involucrados en todas estas cuestiones de una manera personal, en la categoría de contexto social, el foco del problema está en la perspectiva de la comunidad.
·         Científico: Los problemas situados en un contexto científico se relacionan con la aplicación de la Matemática en la naturaleza y en temas relacionados con la ciencia y la tecnología. Determinados contextos pueden incluir áreas como tiempo y clima, ecología, medicina, ciencia espacial y genética.


Terminología para desarrollar las competencias:

Saber actuar: Alude a la intervención de una persona sobre una situación problemática determinada para resolverla, pudiendo tratarse de una acción que implique sólo actividad matemática.
Tener un contexto particular: Alude a una situación problemática real o simulada, pero plausible, que establezca ciertas condiciones y parámetros a la acción humana y que deben tomarse en cuenta necesariamente.

Actuar pertinentemente: Alude a la indispensable correspondencia de la acción con la naturaleza del contexto en el que se interviene para resolver la situación problemática. Una acción estereotipada que se reitera en toda situación problemática no es una acción pertinente.

Seleccionar y movilizar saberes: Alude a una acción que echa mano de los conocimientos matemáticos, habilidades y de cualquier otra capacidad matemática que le sea más necesaria para realizar la acción y resolver la situación problemática que enfrenta.

Utilizar recursos del entorno: Alude a una acción que puede hacer uso pertinente y hábil de toda clase de medios o herramientas externas, en la medida que el contexto y la finalidad de resolver la situación problemática lo justifiquen.

Utilizar procedimientos basados en criterios: Alude a formas de proceder que necesitan exhibir determinadas características, no todas las deseables o posibles sino aquellas consideradas más esenciales o suficientes para que logren validez y efectividad.



[1] Competencias Clave para un aprendizaje a lo largo de toda la vida, un marco de referencia europeo (p, 7)
[2] Matemática en PISA 2012 (p, 4)